Thạc Sĩ Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình và hệ phương trình

Mục lục
Mở đầu 1
Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt . 4
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Hàm đồng biến, nghịch biến 5
1.2 Định lý Rolle và một số mở rộng 7
1.2.1 Định lý Rolle 7
1.2.2 Định lý Rolle với nguyên hàm . 10
1.2.3 Định lý Rolle trên khoảng vô hạn . 11
1.3 Định lý Lagrange và định lý Cauchy 12
1.4 Hệ hoán vị vòng quanh . 15
2 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình 17
2.1 Ứng dụng định lý Rolle và các hệ quả để giải phương trình 17
2.2 Chứng minh sự tồn tại và biện luận số nghiệm của phương
trình . 25
2.3 Áp dụng định lí Lagrange và các hệ quả để xét sự tồn tại
nghiệm của phương trình cho trước . 34
3 Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương
trình 39
3.1 Áp dụng định lý Lagrange và các hệ quả để giải hệ phương
trình 39
3.2 Áp dụng định lí Cauchy để giải hệ hoán vị vòng quanh n
biến, n ≥ 2, n ∈ N 46
Kết luận 52
Tài liệu tham khảo 531
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Hàm số đơn điệu là một khái niệm quan trọng trong giải tích toán học và có
nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như kinh tế, cơ học, vật lý và
kĩ thuật. Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia, Quốc tế, trong các kỳ thi
Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học trong nước thì các bài toán
liên quan đến tính đơn điệu của hàm số thường xuyên xuất hiện và dạng phổ
biến nhất là ứng dụng định lí Rolle và một số mở rộng của định lí Rolle (Định
lý Lagrange, định lý Cauchy, định lý Rolle trên môt khoảng không bị chặn) là
các định lý quan trọng trong giải tích cổ điển. Ứng dụng của các định lý này
trong toán sơ cấp rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là các dạng toán về giải
phương trình, giải hệ phương trình, chứng minh phương trình có nghiệm, xét
cực trị của hàm số .Tuy nhiên, trong các tài liệu dành cho học sinh phổ thông
và một số nghiên cứu trước đây thì ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong
giải phương trình, hệ phương trình chưa được trình bày một cách hệ thống và
đầy đủ.
Với suy nghĩ và theo ý tưởng đó, mục tiêu luận văn là nghiên cứu tính đơn
điệu của hàm số trong toán cao cấp và ứng dụng của nó để giải các bài toán sơ
cấp. Đặc biệt luận văn cũng định hướng cách giải và cách vận dụng các định lý
đã biết để tìm tòi những lời giải hay, độc đáo đặc thù cho từng dạng toán cụ
thể, từ đó hình thành ý thức sáng tạo những bài toán mới. Ngoài ra, đây cũng
là những kết quả mà bản thân tác giả sẽ tiếp tục hoàn thiện trong quá trình
nghiên cứu và giảng dạy toán tiếp theo ở trường phổ thông.
2. Mục đích nghiên cứu đề tài
ã Khai thác các tính chất đơn điệu, cực trị của hàm số trong giải tích toán
học.
ã Nâng cao năng lực giải các bài toán về giải phương trình và hệ phương
trình bằng phương pháp hàm số.2
ã Xây dựng hệ thống bài tập phục vụ công tác giảng dạy và bồi dưỡng học
sinh giỏi.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
ã Đối tượng nghiên cứu là tính đơn điệu của hàm số.
ã Phạm vi nghiên cứu là tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng trong giải
phương trình, hệ phương trình.
4. Phương pháp nghiên cứu
ã Phân tích và tổng hợp.
ã Hệ thống và phân loại các bài tập.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
ã Thể hiện được tính ứng dụng của toán cao cấp để giải các bài toán sơ cấp.
ã Xây dựng, hệ thống phương pháp để giải các bài toán phương trình, hệ
phương trình.
ã Luận văn đóng góp thiết thực cho việc học và dạy các chuyên đề toán sơ
cấp, đem lại niềm đam mê sáng tạo trong việc dạy và học toán.
6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm ba chương, lời nói đầu, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Nội dung chương này trình bày một cách cơ bản các định lý liên quan đến
tính đơn điệu của hàm số là: Định lý Fermat, định lý Rolle, định lý Lagrange
cùng một số hệ quả quan trọng trong giải tích toán học. Đây là phần lý thuyết
cơ sở để xây dựng phương pháp và vận dụng cho các bài toán ứng dụng ở những
chương sau.
Chương 2. Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
Chương này trình bày một số ứng dụng trực tiếp của định lý Rolle, định lý
Lagrange, định lý Cauchy và các hệ quả để xét sự tồn tại nghiệm của phương
trình cho trước.
Chương 3. Áp dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương
trình.
Chương này trình bày ứng dụng định lý Lagrange, định lý Cauchy và các hệ
quả để giải hệ phương trình. Các bài tập minh họa được lựa chọn từ đề thi của
các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, các kì thi Olympic khu vực và Quốc tế, các
kì thi Olympic toán sinh viên.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học đầy nhiệt tình và
nghiêm túc của TS. Nguyễn Đình Bình, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn3
chân thành và kính trọng sâu sắc đối với TS - người thầy đã truyền đạt nhiều
kiến thức quý báu cùng với kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời
gian tác giả theo học và nghiên cứu đề tài.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, các
thầy cô giảng dạy lớp Cao học K7N, Ban giám hiệu trường THPT Giao Thủy
B - Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong suốt quá
trình học tập, công tác và thực hiện đề tài luận văn này.
Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã cố gắng học tập và nghiên cứu một
cách nghiêm túc trong suốt khóa học. Tuy nhiên do còn hạn chế về năng lực,
thời gian và hoàn cảnh nên trong quá trình thực hiện không tránh khỏi thiếu
sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý
của bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Nguyễn Văn Đông4
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt
ã N - Tập các số tự nhiên.
ã N
∗
- Tập các số tự nhiên khác 0.
ã Z - Tập các số nguyên.
ã R - Tập các số thực.
ã ĐPCM - Điều phải chứng minh.
ã THPT - Trung học phổ thông.
ã ĐH - Đề thi Đại học.
ã HSG - Học sinh giỏi.
ã NXBGD - Nhà xuất bản Giáo dục.
ã I (a; b) ; I - Nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp con của tập R
(a; b) , [a; b) , (a; b] , [a; b] .