Thạc Sĩ Ánh xạ đơn điệu và Áp dụng vào các bài toán cân bằng kinh tế

MỞ ĐẦU



Ánh xạ đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đ ang được rất nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu. Đặc biệt phải kể đến như: R. T. Rockafellar, F. E. Browder, (Xem [5], [14]). Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, ánh xạ đơn đ iệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng như lĩnh vực tối ưu hóa. Nó giúp ích cho việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tố i ưu. Đề tài của bản luận văn này là nghiên cứu về toán tử đơn đ iệu trong không gian Hilbert thực và ứng dụng của nó trong việc khảo sát các bài toán bất đẳng thức biến phân và đặc biệt là mô hình kinh tế nổi tiếng Nash - Cournot. Vì thế, đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung chính của bản luận văn là trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ sở có liên quan; khái niệm, tính chất và các điều kiện cho các toán tử đơn điệu; áp dụng toán tử đơn điệu trong bài toán bất đẳng thức biến phân và mô hình kinh tế Nash - Cournot. Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành ba chương với tiêu đề:

Chương 1: Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Chương 2: Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu. Chương 3: Mô hình Nash - Cournot với toán tử đơn điệu.
Nội dung chính của các chương là:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích lồ i phục vụ cho việc nghiên cứu toán tử đơn điệu. Sau đó, trình bày các khái niệm về toán tử đơn điệu, đơn điệu tuần hoàn và đơn điệu cực đại. Song song với các khái niệm này là một số kết quả về tính chất, điều kiện của toán tử đơn điệu.

Chương 2: Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan. Sau đó, trình bày một số kết quả về việc sử dụng toán tử đơn đ iệu trong việc chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến
phân.

Chương 3: Trình bày về mô hình kinh tế Nash - Cournot trong lĩnh vực sản xuất kinh doanh. Sau đó, sử dụng toán tử đơn điệu để nghiên cứu về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm cho mô hình.
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái

Nguyên. Để hoàn thành được bản luận văn này, trước hết, tôi xin bày tỏ lòng b iết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý, người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện bản luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng b iết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, các cô giáo trong trường Đại họ c Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học Việt Nam, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin cảm ơn tới cơ quan, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, ủng hộ giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp.



MỤC LỤC



Mở đầu 1


Chương 1: TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT


1.1. Không gian Hilb ert thực 3


1.2. Tập lồi và hàm lồi .7


1.3. Toán tử đơn điệu .14


1.3.1. Các định nghĩa về toán tử đơn điệu .15


13.2. Toán tử đơn điệu tuần hoàn .19


1.3.3. Toán tử đơn điệu cực đại 21


Chương 2: BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU


2.1. Bất đẳng thức biến phân 33


2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu .39


2.3. Bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đa trị .46


2.4. Bất đẳng thức biến phân và các bài toán liên quan 49


Chương 3: MÔ HÌNH NASH – COURNOT VỚI TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU


3.1. Phát biểu mô hình .55


3.2. Mô hình Nash – Cournot với bài toán cân bằng 56


3.3. Mô hình Nash – Cournot với bài toán bất đẳng thức biến phân 57


3.4. Mô hình Nash – Cournot với toán tử đơn điệu 58


KẾT LUẬN 65


TÀI LIỆU THAM KHẢO 66